損保数理 第1章 損害保険料率の基礎と営業保険料

損保数理の参考書の第1章です（無料公開）。この章の問題は第1章の問題にあります。

この章の節

• 保険料の構成と料率の分類
• 保険料・保険金の計上基準と損害率
• トレンドとロス・ディベロプメント、平均支払額の基準
• 損害率法と純保険料法
• 契約条件による営業保険料の調整

保険料の構成と料率の分類 B 余力

営業保険料の構成

保険契約者が支払う保険料を営業保険料といいます。営業保険料は、将来の保険金支払に充てる純保険料（危険保険料とも）と、保険会社の運営経費・代理店手数料・利潤に充てる付加保険料から成ります（図1.1）。純保険料は、過去の損害の統計に基づき、統計上の誤差に対する安全割増を勘案して将来の支払額を予測したものです。社費は、長期契約を考えるとき（1.5節）に、契約の締結時だけにかかる新契約費と、契約を満期まで維持管理する維持費に分けます。

図 1.1　営業保険料の構成と予定料率構成割合（\(\lambda+\varepsilon+\theta+\delta=1\)）

予定料率構成割合で書くと、1件あたりの営業保険料 \(P\) と、予定純保険料 \(r\)・予定社費 \(e\)（いずれも金額）の間には、収支相等の関係 \[P=r+e+(\theta+\delta)P \qquad\Longleftrightarrow\qquad P=\frac{r+e}{1-(\theta+\delta)},\qquad \lambda=\frac rP,\ \ \varepsilon=\frac eP\] が成り立ちます。代理店手数料と利潤は営業保険料に比例して決まるので分母に回り、純保険料と社費は金額として分子に入る、というのがこの章のすべての計算の骨格です。

なお、実際に契約者が支払う保険料は、各種の割増引や保険成績による調整を行った後のものです。調整前の保険料率を営業基本料率と呼ぶことがあります。

料率測定単位と料率の分類

個別のリスク（ロスエクスポージャ）の測定基準を料率測定基準、その料率表示の単位を料率測定単位（エクスポージャ・ユニット）といいます。火災保険の「建物1棟・年」、自家用自動車保険の「自動車1台・年」（経過台数）が例です。料率測定基準には、①危険度の大小を正確に反映する、②危険度の測定が容易である、③被保険者の恣意的な操作が困難である、の3要件が望ましく、インフレーションに自動的に追随する性質（生産物賠償責任保険の売上高など）も望まれます。

料率は、同一の危険集団に広く適用するクラス料率（マニュアル料率。第8章）、同質の危険集団が得られない企業物件（船舶・大規模工場など）に個々に適用する個別料率（アンダーライターの判断による判断料率を含む）、クラス料率から出発して個別の実績で割増引するメリット料率に分類されます。メリット料率には、防災管理などの条件で割増引するスケジュール料率算定法、過去の所定期間の実績で以後の料率を調整する経験料率算定法（第6章）、当該期間の実績でその期間の保険料を事後に調整する遡及料率算定法があります。 料率算定の方法は、統計にほとんど頼らない判断法（海上・貨物保険など）、予定損害率と実績損害率を比べて旧料率を調整する損害率法、クレーム頻度×平均クレーム額で純保険料を新たに算出する純保険料法（FD方式）の3つです。

保険料・保険金の計上基準と損害率 S 必修

損害率には、リトンプレミアムに対するペイドロスの比のリトンベーシス、ある期間に引き受けた契約の保険料に対するその契約の保険金の比のポリシー・イヤー・ベーシス、アーンドプレミアムに対するインカードロスの比のアーンドベーシスの3種類があります。リトンベーシスでは、収入した保険料の大半が将来の損害に備えるもので、支払う保険金の多くは過去の契約によるものです。そのため、保険料が急増中の会社ではリトンベーシス損害率は実態より低く（収益を過大評価し、必要な料率水準を低く見積もる）、保険料が減少中の会社では逆に高くなります。アーンドベーシスなら、保険料の規模の増減によらず、クレームとそれに充てる保険料が対応します。

アーンドプレミアムの簡便法

保険期間1年の契約が年間を通じて引き受けられるとき、ある年度のアーンドプレミアムは「前年度の契約のうち当年度に経過する部分」と「当年度の契約のうち当年度に経過する部分」の和です。これは図1.2のように、横軸に暦の時間、縦軸に契約の経過期間をとると見やすくなります。1件の契約は傾き1の線分で、当年度のアーンドプレミアムは縦の帯（当年度）に入る部分、1つの契約年度の契約は平行四辺形の領域になります。

図 1.2　保険期間1年の契約の経過（縦の帯が \(n\) 年度、平行四辺形が \(n\) 契約年度）

大量の契約を1件ずつ日割計算する代わりに、次の簡便法が使われます（年度は4月〜3月。\(k\) 月目は4月を1、3月を12とする）。

• 2分の1法：契約が年間均等に分布すると仮定し、前年度契約保険料の50%と当年度契約保険料の50%を当年度のアーンドとする。

• 12分の1法（末日引受基準）：すべての契約が毎月末に引き受けられたとする。前年度の \(k\) 月目の契約は当年度に \(k/12\)、当年度の \(k\) 月目の契約は当年度に \((12-k)/12\) が経過する。

• 24分の1法：すべての契約が毎月の半ばに引き受けられたとする。前年度の \(k\) 月目の契約は \((2k-1)/24\)、当年度の \(k\) 月目の契約は \((25-2k)/24\) が当年度に経過する。

• 365分の1法：契約ごとに日割で計算する。

たとえば12分の1法では、当年度の4月契約は5月〜3月の11か月分（\(11/12\)）、3月契約は0が当年度に経過し、残りは当年度末の未経過保険料になります。

会計年度統計・契約年度統計・会計年度－事故年度統計 S 必修

統計データの集計方法は3種類あります（表1.1）。

会計年度統計は決算数字から作る統計です。決算にはリトンプレミアムとペイドロスしかないので、未経過保険料と支払備金を使ってアーンドとインカードを推定します。 \[\begin{aligned} \text{当年度アーンド}&=\text{前年度末未経過保険料}+\text{当年度リトン}-\text{当年度末未経過保険料},\\ \text{当年度インカード}&=\text{当年度末支払備金}+\text{当年度ペイド}-\text{前年度末支払備金}. \end{aligned}\] 早く判明し安価ですが、インカードロスに前年度以前に発生した事故の支払備金の見積もり誤差が入り込む欠点があります。アーンドプレミアムも、前年度以前の契約に関する返還保険料・追徴保険料が当年度に計上されると歪みます。

契約年度統計は、その年度に始期のある契約だけを集計する統計で、保険金・保険料・返還保険料・追徴保険料をすべて同じ契約集団で処理するので、ロスと保険料が正確に対応します。ただし保険期間1年でも2年度にまたがるので（図1.2の平行四辺形）、確定までに時間がかかります。

会計年度－事故年度統計は両者の折衷で、アーンドプレミアムは会計年度統計と同じ式で計算し、インカードロスは当年度に発生した事故に起因するクレームの当年度支払額と当年度末支払備金の合計とします。支払備金の見積もり誤差は、事故が発生した年度にさかのぼって修正するので、当年度には入りません。

トレンドとロス・ディベロプメント、平均支払額の基準 A 頻出

トレンドファクターとロス・ディベロプメント・ファクター

トレンドファクターは、新料率が適用される時期までに進むと思われる事情の変化を反映するため、過去の統計を調整する手法です。平均クレーム額やクレーム頻度が毎年一定額ずつ変化するときは線型トレンドファクター \(y=a+bt\)、毎年一定割合で変化するときは指数トレンドファクター \(y=a\,b^{t}\) を使います（\(t\) は年度、\(a,b\) は回帰で推定する定数。指数型は両辺の対数をとって線型回帰します）。たとえば平均クレーム額が年3%で増えている場合、観察期間の中央から新料率の適用期間の中央までが2年なら、過去の平均クレーム額に \(1.03^2=1.0609\) を掛けます。

ロス・ディベロプメント・ファクターは、料率算定に使うロスに含まれる支払備金の見積もり誤差を補正し、さらに発生しているがまだ報告されていないロス（IBNR）を見積もるための係数です。表1.2のように、各契約年度のロス推定額を経過年ごとに並べ、1年前の推定額に対する比（ロス出現修正係数）を年度間で平均します。

1年経過時点のロスに掛けるロス・ディベロプメント・ファクターは、平均した係数の積 \(1.037\times1.008\times0.980\approx1.024\) です。2年経過時点なら \(1.008\times0.980\approx0.988\) を掛けます。ロス・ディベロプメント・ファクターは「過去の見積もり誤差と同じ誤差を今後も繰り返す」ことを前提にしており、インフレなどによる将来の変化を反映するトレンドファクターとは役割が重複しません。

契約年度基準と支払年度基準の平均支払額 S 必修

純保険料は「クレーム頻度×平均クレーム額」ですが、平均クレーム額を「ある年度に支払われた保険金の1件あたり平均」（支払年度基準）で測ると、その年度の契約の本来の平均（契約年度基準）とずれます。支払年度の保険金には前年度の契約の翌年度払いが混ざり、契約件数や頻度が伸びていると、その割合が変わるからです。

件数が伸びていると、支払年度の保険金に占める当年度契約の安い「発生年度内の支払」の比重が大きくなるので、支払年度基準の平均は下がります。

料率改定・補償内容の変更の調整 A 頻出

損害率法では、実績損害率の分母の保険料を現行の料率水準に直し、分子の保険金を現行の補償内容に直してから予定損害率と比べます。保険料を直すときは、各契約に適用された料率に対する現行料率の比を掛けます。契約年度統計で、年度の途中に料率改定があり契約が年間に一様に分布するなら、その契約年度の料率水準は改定前後の契約の割合で加重平均した値です。補償を縮小（拡大）した場合は、改定前の契約の保険金に縮小（拡大）の割合を掛けます。

たとえば、契約年度が4月〜3月で、10月1日に料率を8%引き上げたとき、その年度の契約の半分は旧料率、半分は新料率なので、平均の料率水準は旧料率の \(0.5\times1+0.5\times1.08=1.04\) 倍です。現行料率がこの改定後の水準なら、この年度の保険料には \(1.08/1.04\) を掛けます。

損害率法と純保険料法 S 必修

損害率法

損害率法は、予定損害率と実績損害率を比べて、旧料率をどれだけ上げ下げするかを決める方法です。実績損害率の分子のロスはロス・ディベロプメント・ファクターとトレンドファクターで修正し、分母の保険料は現行料率水準に調整します（1.3節）。データ量が十分でなければ、信頼度（クレディビリティ係数。決め方は第7章）\(Z\ (0\le Z\le1)\) で実績と予定損害率を加重平均します。

(2)は次のように導けます。旧営業保険料 \(P\) に対し、保険金と社費の実額は \(\lambda'P\)、\(\varepsilon'P\) なので、新営業保険料 \(P'\) は \[P'=\lambda'P+\varepsilon'P+(\theta'+\delta)P' \qquad\Longrightarrow\qquad P'=\frac{\lambda'+\varepsilon'}{1-(\theta'+\delta)}\,P .\] 新営業保険料に占める割合は、損害率が \(\lambda'/(1+\text{改定率})\)、社費率が \(\varepsilon'/(1+\text{改定率})\) に変わり、代理店手数料率 \(\theta'\) と利潤率 \(\delta\) はそのまま使われます。

一方(1)は、改定後も予定料率構成割合をそのまま使う（新営業保険料の \(\lambda\) の割合を保険金に充てる）場合で、\(\lambda P'=\lambda'P\) から \(P'/P=\lambda'/\lambda\) です。社費も保険料に比例して増減すると考えていることになります。(2)で \(\varepsilon'=\varepsilon\)、\(\theta'=\theta\) とした \((\lambda'+\varepsilon)/(\lambda+\varepsilon)-1\) は、社費を金額 \(\varepsilon P\) のまま据え置く計算なので、(1)とは一致しません。どちらを使うかは問題文の指示で決まります。

純保険料法

純保険料法は、現行料率の有無にかかわらず、純保険料を新たに算出する方法です。修正後のインカードロスを契約件数（正確にはエクスポージャ・ユニット数）\(N\) で割ります。 \[\text{実績純保険料}=\frac{\text{支払件数}}{N}\times\frac{\text{インカードロス}}{\text{支払件数}}=\text{クレーム頻度}\times\text{平均クレーム額}.\] 信頼度を導入すると、教科書の(1.1)式 \[\text{改定純保険料}=\text{実績純保険料}\times Z+\text{予定純保険料}\times(1-Z)\] になります。予定純保険料は改定前の純保険料で、改定前の営業保険料に予定損害率を掛けて求めます。(1.1)式は「予定純保険料\(+\)(実績\(-\)予定)\(\times Z\)」と書き直せるので、改定幅を \(Z\) 倍に抑える式だと分かります。

損害率法との違いは、社費を「率」でなく「実額」で織り込むことです。

損害率法と純保険料法の一致

修正後のインカードロス \(L\)、契約件数 \(N\)、現行料率水準のアーンドプレミアム \(P_E\)、1件あたりの現行保険料 \(p=P_E/N\)、予定損害率 \(\lambda\) とします。全信頼度（\(Z=1\)）のとき、純保険料法の新保険料は「実績純保険料÷予定損害率」で \(L/(N\lambda)\) です。損害率法では実績損害率が \(L/P_E\) なので \[\text{新保険料}=p\Bigl(1+\frac{L/P_E-\lambda}{\lambda}\Bigr)=\frac{P_E}{N}\cdot\frac{L}{P_E\,\lambda}=\frac{L}{N\lambda}\] となり一致します。損害率法は「旧料率を調整する方法」、純保険料法は「新料率を算出する方法」ですが、同じデータを使う限り結果は同じです。

契約条件による営業保険料の調整 A 頻出

分割払契約と短期契約

保険期間1年の契約の保険料は契約時の一括払（年払）が基本ですが、分割払もあります。分割払保険料は、年払保険料に一定の割増を付けて分割回数で割ったもので、割増の理由は①払込みの遅れによる利息の損失、②集金回数の増加による手数の増加、③会社事務費の増加です。

保険期間が1年に満たない短期契約では、保険料は日割計算せず、年料率に対する割合で表した短期料率で割増します。保険料は危険度測定の単位とする期間（保険料期間、通常1年）の中で一体不可分とされ（保険料不可分の原則）、①季節による危険の偏り（火災は冬に多いなど）、②逆選択、③期間に按分できない固定費、を考慮するためです。契約者の申出で解約する場合も、既経過期間を短期料率で計算した保険料を差し引いた残りを解約返れい金として返還します。

長期契約の長期係数 S 必修

保険期間が1年を超え、保険料を契約時に一括して払い込む長期契約では、1年ごとの更改の手間（新契約費）が省け、前払いの保険料から運用利息が得られるので、1年契約の保険料率×年数より安くできます。1年契約の営業保険料 \(P\) に対する純保険料率を \(p\)、新契約費率を \(\alpha\)、維持費率を \(\beta\)、代理店手数料等の率を \(\theta\)、利潤率を \(\delta\) とし（\(p+\alpha+\beta+\theta+\delta=1\)。\(p\) は予定損害率 \(\lambda\) と同じ値）、予定利率を \(i\)、\(v=1/(1+i)\) とします。

未経過保険料は、残り \(n-t\) 年分の純保険料と維持費の現価を、営業保険料ベースに直したもの \(P(\beta+p)\adue_{\angl{n-t}}/\{1-(\theta+\delta)\}\) で、新契約費はすでに支出済みなので含みません。分母の契約時保険料は \(KP\) です。

免責金額と保険料の割引 A 頻出

損害の一部を被保険者に自己負担させる方法には、損害額の一定割合を支払う縮小てん補方式、免責金額 \(d\) を超える部分だけを支払うエクセス方式、損害額が \(d\) を超えたら全額を支払うフランチャイズ方式があります（図1.3）。とくに断らない限り、免責はエクセス方式です。

図 1.3　免責方式ごとの保険会社の支払額（免責金額 \(d\)）

損害額 \(X\) の分布関数を \(F\)、密度を \(f\) とします。エクセス方式では、被保険者の自己負担額は \(\min(X,d)\)、保険会社の支払額は \(X-\min(X,d)=\pos{X-d}\)、支払対象となる事故の割合は \(1-F(d)\) です。平均は次のとおりです。 \[\begin{aligned} \text{平均自己負担額}\quad&\E[\min(X,d)]=\int_0^d xf(x)\dd x+d\,\bigl(1-F(d)\bigr),\\ \text{全事故あたりの平均支払額}\quad&\E[X-\min(X,d)]=\int_d^\infty xf(x)\dd x-d\,\bigl(1-F(d)\bigr),\\ \text{支払1件あたりの平均支払額}\quad&\E[X-\min(X,d)\cond X>d]=\frac{1}{1-F(d)}\int_d^\infty xf(x)\dd x-d . \end{aligned}\] 「全事故あたり」は支払とならない事故も含めた平均です。フランチャイズ方式の支払1件あたりの平均は \(\E[X\cond X>d]\)、縮小割合 \(b\) の縮小てん補なら \(\E[bX]=b\,\E[X]\) です。

定額の付加保険料 \(c_0\) がなければ \(G=g\) で、営業保険料の割引率は純保険料の割引率に一致します（教科書の練習問題3）。\(c_0>0\) なら、定額部分は免責によって減らないので \(G<g\) です。

\(\E[\min(X,d)]=\int_0^d\P(X>x)\dd x\) は、部分積分 \(\int_0^d xf(x)\dd x=\bigl[-x(1-F(x))\bigr]_0^d+\int_0^d(1-F(x))\dd x\) から得られ、分布を問わず使えます。免責・支払限度のある支払の分布と推定は第3章で扱います。