損保数理 第1章 損害保険料率の基礎と営業保険料の問題

① 実績損害率はアーンド・インカードで \(A=456/780\approx0.584615\) です。信頼度0.7で予定損害率0.60と加重すると \[\lambda'=0.7\times0.584615+0.3\times0.60\approx0.589231 .\] 実績社費率は \(\varepsilon'=172/800=0.215\)、実績代理店手数料率は \(\theta'=124/800=0.155\) なので \[\text{料率改定率}=\frac{\lambda'+\varepsilon'}{1-(\theta'+\delta)}-1=\frac{0.589231+0.215}{1-(0.155+0.05)}-1=\frac{0.804231}{0.795}-1\approx0.0116 .\] 信頼度を使わずに \(A\) をそのまま使うと約0.6%で（Ｄ）、社費率・代理店手数料率をアーンド保険料で割ると約2.4%で（Ｉ）です。

② 新営業保険料は旧営業保険料の \(1.0116\) 倍で、保険金に充てる額は旧営業保険料の \(\lambda'\) 倍なので \[\frac{\lambda'}{1+\text{料率改定率}}=\frac{0.589231}{1.011612}\approx0.5825 .\] 割らずに \(\lambda'\) のままとすると約58.9%で（Ｇ）です。同様に新しい社費率は \(0.215/1.011612\approx0.2125\) で、\(0.5825+0.2125+0.155+0.05=1\) となり、料率構成割合の合計が1に戻ることを確かめられます。

当年度のペイドロス（事故の時期を問わず当年度に支払った額）は \(145\) です（\(65+25+40+15\)）。

① リトンベーシス損害率は \(145/260\approx55.8\%\) です。

② アーンドプレミアムは \(70+260-80=250\)、会計年度統計のインカードロスは \[\underbrace{(20+35)}_{\text{当年度末支払備金}}+\underbrace{145}_{\text{ペイド}}-\underbrace{(50+30)}_{\text{前年度末支払備金}}=120\] なので、損害率は \(120/250=48.0\%\) です。分母をリトンの260とすると約46.2%で（Ｅ）です。

③ 当年度に発生した事故はクレーム3・4・6ですが、6は当年度末時点で報告も備金計上もないので数えられません（IBNR）。インカードロスは \(25+35+40=100\) で、損害率は \(100/250=40.0\%\) です。クレーム5（前年度の事故）まで含めると \(115/250=46.0\%\) で（Ｅ）です。

4月を1、3月を12とする \(k\) 月目の契約について、当年度に経過する割合を足し上げます。

① 12分の1法では、前年度の \(k\) 月目の契約は当年度に \(k/12\)、当年度の \(k\) 月目の契約は \((12-k)/12\) が経過します。 \[\begin{aligned} \text{前年度契約分}&=20\times\frac{1+2+\dots+12}{12}=20\times\frac{78}{12}=130,\\ \text{当年度契約分}&=25\times\frac{11+10+9+8+7+6}{12}+30\times\frac{5+4+3+2+1+0}{12}\\ &=106.25+37.5=143.75 \end{aligned}\] より、\(130+143.75=273.75\) です。

② 24分の1法では、前年度の \(k\) 月目の契約は \((2k-1)/24\)、当年度の \(k\) 月目の契約は \((25-2k)/24\) が当年度に経過します。 \[\begin{aligned} \text{前年度契約分}&=20\times\frac{1+3+\dots+23}{24}=20\times\frac{144}{24}=120,\\ \text{当年度契約分}&=25\times\frac{23+21+19+17+15+13}{24}+30\times\frac{11+9+7+5+3+1}{24}\\ &=112.5+45=157.5 \end{aligned}\] より、\(120+157.5=277.5\) です。2分の1法なら \(0.5\times240+0.5\times330=285\) で、契約が年度後半に増えている分だけ大きく出ます。

前年度始期契約の事故件数を \(c\)、前年度に発生年度内で支払う1件の額を \(u\) とします。当年度始期契約の事故件数は、契約件数と頻度の増加で \(1.03\times1.04\,c=1.0712\,c\) です。支払の価格水準は支払年度ごとに1.05倍になります。

当年度始期契約の平均（表の下の行）は \[D_1=0.6\times1.05\,u+0.4\times2.5\times1.05^2\,u=(0.63+1.1025)\,u=1.7325\,u .\] 当年度の支払（表の「当年度に支払」の列）の平均は、\(0.6\times1.0712=0.64272\) より \[D_2=\frac{0.4\times2.625+0.64272\times1.05}{0.4+0.64272}\,u=\frac{1.05+0.674856}{1.04272}\,u\approx1.65419\,u .\] したがって \(D_1/D_2-1\approx1.7325/1.65419-1\approx0.0473\) です。

契約件数の増加を見落として事故件数の伸びを頻度の4%だけとすると約4.0%で（Ｃ）です。\(D_1\) と \(D_2\) を取り違えて \(D_2/D_1-1\) とすると、選択肢にない負の値（約\(-4.5\%\)）になります。

2023年4月時点の料率を1とすると、現行の料率水準は \(1.08\times1.05=1.134\) です。

保険料の修正：2023年度契約は、10月1日より前の半分が旧料率1、後の半分が1.08なので、平均の料率水準は \(0.5\times1+0.5\times1.08=1.04\) です。2024年度契約はすべて1.08です。 \[\begin{aligned} 2023\text{年度}&:\ 416{,}000\times\frac{1.134}{1.04}=453{,}600,\qquad 2024\text{年度}:\ 540{,}000\times\frac{1.134}{1.08}=567{,}000,\\ 2025\text{年度}&:\ 680{,}400\quad(\text{合計}\ 1{,}701{,}000). \end{aligned}\] いずれも1件あたり \(113.4\) になり、現行料率で引き受けた場合の保険料になっています。

保険金の修正：補償拡大前の2023・2024年度契約の保険金は1.06倍します。 \[(280{,}000+330{,}000)\times1.06+420{,}000=646{,}600+420{,}000=1{,}066{,}600 .\] よって損害率は \[\frac{1{,}066{,}600}{1{,}701{,}000}\approx62.7\%\] です。保険金の修正を忘れると約60.6%で（Ｂ）、2023年度契約をすべて旧料率とみて \(1.134\) 倍すると約62.0%で（Ｅ）です。

1年契約の営業保険料を \(P\) とし、純保険料率 \(p=0.55\)、新契約費率 \(\alpha=0.12\)、維持費率 \(\beta=0.10\)、代理店手数料率 \(\theta=0.18\)、利潤率 \(\delta=0.05\) とします。

① 収支相等 \(KP=P\alpha+P(\beta+p)\adue_{\angl{4}}+KP(\theta+\delta)\) より \[K=\frac{\alpha+(\beta+p)\,\adue_{\angl{4}}}{1-(\theta+\delta)}=\frac{0.12+0.65\times3.94099}{1-0.23}=\frac{2.681644}{0.77}\approx3.4827 .\] 割引を忘れて \(\adue_{\angl{4}}\) を4とすると約3.53で（Ｈ）です。

② 第2保険年度末の経過期間は2年で、残りは2年です。 \[U_2=\frac{(\beta+p)\,\adue_{\angl{2}}}{\alpha+(\beta+p)\,\adue_{\angl{4}}}=\frac{0.65\times1.99010}{2.681644}=\frac{1.293565}{2.681644}\approx0.4824 .\] 分子にも新契約費率を入れると約0.527で（Ｇ）です。新契約費は初年度に支出済みなので、未経過保険料には含めません。

③ 第 \(t+1\) 保険年度（\(t=0,1,2,3\)）初の支出は、純保険料が \(p\times1.03^t P\)、維持費が \(\beta\times1.02^t P\) です。現価の和は \[\begin{aligned} \sum_{t=0}^{3}(1.03v)^t&=1+1.019802+1.019802^2+1.019802^3\approx4.120388,\\ \sum_{t=0}^{3}(1.02v)^t&=1+1.009901+1.009901^2+1.009901^3\approx4.059799 . \end{aligned}\] 代理店手数料は営業保険料 \(KP\) の18%で変わりません。支出の現価の合計（\(P\) を単位とする）は \[\begin{aligned} &0.12+0.55\times4.120388+0.10\times4.059799+0.18\times3.4827\\ &\approx0.12+2.26621+0.40598+0.62688=3.41907 . \end{aligned}\] 利潤の現価は \(3.48265-3.41907\approx0.06358\) で、営業保険料に対する割合は \(0.06358/3.48265\approx1.83\%\) です。予定の5%から、上昇トレンドの分だけ利潤が削られています。

① 指数分布（平均 \(\mu=40\)）では \(\P(X>x)=\ee^{-x/40}\) なので \[\E[\min(X,10)]=\int_0^{10}\ee^{-x/40}\dd x=40\,(1-\ee^{-0.25})\approx8.848 .\] 純保険料の割引率は \(\E[\min(X,10)]/\E[X]=1-\ee^{-0.25}\approx0.2212\) です。

② 免責導入前の営業保険料は \((1{,}000+1.1\times6{,}000)/(1-0.2)=7{,}600/0.8=9{,}500\)円、導入後は純保険料が \(6{,}000\times0.7788=4{,}672.8\)円になるので \[\frac{1{,}000+1.1\times4{,}672.8}{0.8}=\frac{6{,}140.1}{0.8}\approx7{,}675\ \text{円}.\] 割引率は \(1-7{,}675/9{,}500\approx0.1921\) です。公式 \(G=\{(1+c_1)p/(c_0+(1+c_1)p)\}\,g=(6{,}600/7{,}600)\times0.2212\) でも同じ値になります。定額部分1,000円は免責で減らないので、営業保険料の割引率は純保険料の割引率より小さくなります。定額部分を無視すると①と同じ約22.1%で、選択肢の範囲を外れます。

① クレーム頻度は \(1{,}250/25{,}000=0.05\)、平均クレーム額は \(312{,}500\)千円\(/1{,}250=250{,}000\)円なので \[\text{実績純保険料}=0.05\times250{,}000=12{,}500\ \text{円}\] です（インカードロス÷経過台数と同じ）。

② 平均クレーム額を2年分の指数トレンドで修正します。 \[12{,}500\times1.03^2=12{,}500\times1.0609=13{,}261.25\ \text{円}.\] 1年分だけ掛けると12,875円で（Ｂ）です。

③ 予定純保険料は現行の営業保険料×予定損害率で \(20{,}000\times0.60=12{,}000\)円です。 \[\text{改定純保険料}=13{,}261.25\times0.8+12{,}000\times0.2=10{,}609+2{,}400=13{,}009\ \text{円}.\] 信頼度を逆に（実績に0.2）掛けると約12,252円で（Ａ）、トレンド修正前の12,500円を使うと12,400円で（Ｂ）です。

④ 社費は実額で分子に、代理店手数料と利潤は営業保険料に比例するので分母に入れます。 \[P'=\frac{13{,}009+3{,}700}{1-(0.17+0.05)}=\frac{16{,}709}{0.78}\approx21{,}422\ \text{円}.\] 社費まで \(0.78\) で割らずに \(13{,}009/0.78+3{,}700\) とすると約20,378円で（Ａ）です。現行の20,000円に対する改定率は約\(+7.1\%\) です。