生保数理 第1章 利息の計算の問題

① \(x=(1+i)^{64}\) とおくと、\(s_{\angl{128}}=(x^2-1)/i\)、\(a_{\angl{64}}=(1-x^{-1})/i\) なので \[x^2-1=\frac{30\,(x-1)}{x}\quad\Longrightarrow\quad x\,(x+1)=30\quad\Longrightarrow\quad (x+6)(x-5)=0 .\] \(x>1\) より \(x=5\) です。\(i=5^{1/64}-1\) は、5 に √ を6回押して求めます。 \[5\to2.236068\to1.495349\to1.222845\to1.105823\to1.051581\to1.025466,\qquad i\approx2.547\% .\] \(x(x+1)=30\) を \(x^2=30\) と解いてしまうと \(x\approx5.477\)、\(i\approx2.69\%\) で（Ｉ）です。

② \(d=i/(1+i)=0.025466/1.025466\approx0.024834\)、\(v^{128}=x^{-2}=1/25\) より \[\adue_{\angl{128}}=\frac{1-v^{128}}{d}=\frac{0.96}{0.024834}\approx38.66 .\] 分母を \(i\) にすると期末払の \(a_{\angl{128}}\approx37.70\) で（Ｂ）です。

等差の永久年金は、第 \(t\) 年度末に \(1+(t-1)h\) を支払うので \[\sum_{t=1}^{\infty}\{1+(t-1)h\}v^t=a_{\infty}+h\sum_{t=1}^{\infty}(t-1)v^t =\frac1i+h\,\frac{v^2}{(1-v)^2}=\frac1i+\frac{h}{i^2}.\] ここで \(\sum_{s\ge0}s\,v^s=v/(1-v)^2\) と \(v/(1-v)=v/d=1/i\) を使いました。等比の永久年金は、\(r=1+i/3\) として \[\sum_{t=1}^{\infty}r^{t-1}v^t=\frac{v}{1-rv}=\frac{1}{(1+i)-r}=\frac{1}{i-i/3}=\frac{3}{2i}.\] 両者を等しいとおくと \(h/i^2=3/(2i)-1/i=1/(2i)\) より \(h=i/2\) です。

等差の年金額を \(1+th\)（第1年度から \(h\) だけ増えた額）と数え違えると、\(\frac1i+\frac{h}{id}=\frac{3}{2i}\) から \(h=d/2\) となり（Ｆ）を選んでしまいます。

（Ａ）正しい。 \(u=(1+i)^{1/k}\) とおくと \(i^{(k)}=k(u-1)\)、\(d^{(k)}=k(u-1)/u\) なので、\(k/d^{(k)}-k/i^{(k)}=\{u-1\}/(u-1)=1\)。両辺に \(i^{(k)}d^{(k)}/k\) を掛けると（Ａ）の式になります。

（Ｂ）誤り。 期始払の累加年金は \(\Iadue_{\angl{n}}=(1+i)(Ia)_{\angl{n}}=\dfrac{\adue_{\angl{n}}-n\,v^n}{d}\) で、分母は \(d\) です。\(n=2\) なら \(\Iadue_{\angl{2}}=1+2v\) ですが、（Ｂ）の右辺は \((1+v-2v^2)/i=(1+2v)\,v\) となり一致しません。

（Ｃ）正しい。 \(\abar_{\angl{n}}=(1-v^n)/\delta\)、\(\sbar_{\angl{n}}=((1+i)^n-1)/\delta=(1-v^n)/(\delta v^n)\) より \[\frac{1}{\abar_{\angl{n}}}-\frac{1}{\sbar_{\angl{n}}}=\frac{\delta\,(1-v^n)}{1-v^n}=\delta .\] （Ｄ）誤り。 \(d^{(k)}\) は \(k\) について増加し、\(d=d^{(1)}<d^{(k)}<\delta\) です。

（Ｅ）正しい。 第 \(t\) 年度末の支払額は、累加年金が \(t\)、累減年金が \(n+1-t\) で、和はつねに \(n+1\) です。

① 公式 \((Ia)_{\angl{n}}=(\adue_{\angl{n}}-n\,v^n)/i\) より \[(Ia)_{\angl{20}}=\frac{16.6785-20\times0.672971}{0.02}=\frac{16.6785-13.45942}{0.02}\approx160.95 .\] 分母を \(d=0.02/1.02\) にすると期始払の \(\Iadue_{\angl{20}}\approx164.17\) で（Ｅ）です。

② まず期末払の確定年金の現価を求めます。\(a_{\angl{20}}=\adue_{\angl{20}}-1+v^{20}=16.6785-1+0.672971=16.351471\) なので \[(Da)_{\angl{20}}=\frac{20-a_{\angl{20}}}{0.02}=\frac{3.648529}{0.02}\approx182.43 .\] 分母を \(d\) にすると約186.1で（Ｆ）です。\((Ia)_{\angl{20}}+(Da)_{\angl{20}}=21\,a_{\angl{20}}\approx343.38\) で検算できます。

借入金を1とすると、毎年末の支払総額は利息 \(0.03\) と積立額 \(1/s^{(2\%)}_{\angl{10}}\) の和です。 \[0.03+\frac{1}{10.94972}=0.03+0.091327=0.121327 .\] これを元利均等返済の年返済額 \(1/a^{(i)}_{\angl{10}}\) とみなすと、\(a^{(i)}_{\angl{10}}=1/0.121327\approx8.24222\) です。\(3.5\%\) と \(4.0\%\) の値で直線補間すると \[i\approx3.5\%+0.5\%\times\frac{8.31661-8.24222}{8.31661-8.11090}=3.5\%+0.5\%\times0.3616\approx3.68\% .\] 積立利率2.0%が借入金利率3.0%より低いので、元利均等返済より負担が重くなり、実質的な利率は3.0%を上回ります。借入金利率をそのまま答えると（Ａ）です。

年返済額は \(R=10{,}000{,}000/19.5235\approx512{,}203\) 円です。

① 第 \(t\) 回の返済額のうち元金部分は \(R\,v^{n-t+1}\) です。\(n=25\)、\(t=11\) では \(v^{15}\) なので \[\text{利息部分}=R\,(1-v^{15})=512{,}203\times0.256985\approx131{,}629\ \text{円}.\] 第11回の返済直前の残存元金 \(R\,a_{\angl{15}}\) に2.0%を掛けても同じ値になります。

② 第10回の返済直後の残存元金は、残り15回の返済額の現価です。 \[R\,a_{\angl{15}}=R\cdot\frac{1-v^{15}}{0.02}=\frac{131{,}628.6}{0.02}\approx6{,}581{,}400\ \text{円}.\] 残りの回数を14回と数えて \(R\,a_{\angl{14}}\) とすると約620万円で（Ｂ）です。

① \(\sqrt{1.04}\approx1.0198039\) です。\(\bigl(1-d^{(2)}/2\bigr)^2=1-d=1/1.04\) より \[d^{(2)}=2\Bigl(1-\frac{1}{1.0198039}\Bigr)=2\times0.0194193\approx0.03884 .\] 名称利率 \(i^{(2)}=2(1.0198039-1)\approx0.03961\) を答えると（Ｉ）、割引率 \(d=0.04/1.04\approx0.03846\) を答えると（Ｃ）です。

② 公式 \(\adue^{(k)}_{\angl{n}}=(1-v^n)/d^{(k)}\) より \[\adue^{(2)}_{\angl{20}}=\frac{1-0.456387}{0.038839}=\frac{0.543613}{0.038839}\approx14.00 .\] 年1回払の \(\adue_{\angl{20}}=0.543613/0.038462\approx14.13\) は（Ｉ）、期末払の \(a^{(2)}_{\angl{20}}=0.543613/0.039608\approx13.72\) は（Ａ）です。近似式 \(\adue_{\angl{20}}-\frac14(1-v^{20})\approx13.998\) でも（Ｆ）が選べます。

① 20年後に必要な額は年金の現価 \(1{,}000{,}000\,\adue_{\angl{10}}\) で、これを毎年度始の積立の終価 \(P\,\sdue_{\angl{20}}\) でまかないます。\(P=1{,}000{,}000\times9.16224/24.78332\approx369{,}694\) 円です。 ② 毎年度始に払い込んだ10回分の終価（過去法）で、\(P\,\sdue_{\angl{10}}=369{,}694\times11.16872\approx4{,}129{,}007\) 円です。 期末払の \(s_{\angl{10}}=\sdue_{\angl{10}}/1.02\) を使うと約4,048,000円で（Ｂ）です。将来法でも約4,129,000円となり、表の数値の丸めの範囲で一致します。

③ 引下げ後は、10年経過時の積立額を1.0%で10年間運用し、残り10回の保険料の終価と合わせて、20年後の必要額（1.0%で計算した年金の現価）をまかないます。 \[\begin{aligned} 4{,}129{,}007\times1.10462+P'\times10.56683&=1{,}000{,}000\times9.56602,\\ P'&=\frac{9{,}566{,}020-4{,}560{,}983}{10.56683}\approx473{,}655\ \text{円}. \end{aligned}\] 年金の現価が増え（9.16224→9.56602）、積立額の利息も減るので、保険料は当初より約28%上がることになります。

④ 保険料 \(P\) のままなら、20年後の積立額は \(4{,}560{,}983+369{,}694\times10.56683\approx8{,}467{,}475\) 円です。これを1.0%の年金現価で割って \(8{,}467{,}475/9.56602\approx885{,}162\) 円です。積立額に \(1.10462\) を掛け忘れると約840,000円で、選択肢にありません。