年金数理 第1章 年金数理の基礎と計算基礎率の問題

20歳から \(y\) 歳までに、静態的昇給の部分は \(b_y/b_{20}=b_y\) 倍、ベース・アップの部分は \((1+r)^{y-20}\) 倍になります。\(u=(1+r)^8\)、\(s=8k\) とおくと、\(b_{28}=1+s\)、\(b_{36}=1+2s\) なので \[(1+s)\,u=\frac{414{,}700}{230{,}000}\approx1.80304,\qquad (1+2s)\,u^2=\frac{669{,}200}{230{,}000}\approx2.90957 .\] 第1式の2乗 \((1+s)^2u^2\approx3.25096\) で第2式を割って \(u\) を消去すると \[\frac{(1+s)^2}{1+2s}=\frac{3.25096}{2.90957}\approx1.11733 \quad\Longleftrightarrow\quad s^2-0.23466\,s-0.11733=0 .\] \(s>0\) の解は \(s\approx0.4794\) なので \(k=s/8\approx0.0599\)。さらに \(u=1.80304/1.4794\approx1.21876\) より \[r=u^{1/8}-1=\sqrt{\sqrt{\sqrt{u}}}-1\approx0.0250 .\] 検算として \(r=0.025\)、\(k=0.06\) を代入すると \[230{,}000\times1.48\times1.025^8\approx414{,}744,\qquad 230{,}000\times1.96\times1.025^{16}\approx669{,}215\] で、問題の数値と一致します。

① 20〜35歳の15年間は毎年1.04倍、35〜45歳の10年間は毎年1.02倍なので \[200{,}000\times1.04^{15}\times1.02^{10}\approx200{,}000\times1.80094\times1.21899\approx439{,}068\ \text{円}.\] ② ベース・アップは最初の10年（20〜30歳）が1.01倍、残りの15年（30〜45歳）が1.02倍ずつかかります。 \[439{,}068\times1.01^{10}\times1.02^{15}\approx439{,}068\times1.10462\times1.34587\approx652{,}752\ \text{円}.\] ベース・アップ率の切り替えを静態的昇給率の切り替え（35歳）と取り違えて \(1.01^{15}\times1.02^{10}\) とすると約621,000円で（Ｄ）、25年間すべて2%とすると約720,000円で（Ｇ）です。

① \(\eo{x}\,l_x=\int_x^{100}l_y\dd y\) の両辺を \(x\) で微分すると \[\Bigl(\frac{\dd}{\dd x}\eo{x}\Bigr)l_x+\eo{x}\frac{\dd l_x}{\dd x}=-l_x \quad\Longrightarrow\quad \mu_x=-\frac{1}{l_x}\frac{\dd l_x}{\dd x}=\frac{1+\frac{\dd}{\dd x}\eo{x}}{\eo{x}} .\] \(\frac{\dd}{\dd x}\eo{x}=-0.8\) なので \[\mu_x=\frac{1-0.8}{0.8\,(100-x)}=\frac{1}{4\,(100-x)} .\] （Ｂ）は平均余命の逆数 \(1/\eo{x}=5/\{4(100-x)\}\) をそのまま死力としたときの値です。死力が一定のときに限り \(\mu=1/\eo{x}\) が成り立ちます。

② \(\int_0^x\frac{\dd y}{4(100-y)}=\frac14\log\frac{100}{100-x}\) より \[l_x=l_0\Bigl(\frac{100-x}{100}\Bigr)^{1/4}.\] \(l_x/l_0=0.8\) とおくと \((100-x)/100=0.8^4=0.4096\) より、\(x=59.04\) です。

① \({}_tp_x=\exp\bigl(-\int_0^t\mu_{x+s}\dd s\bigr)\) で、死力の積分は \(0.01\times20+0.04\times10=0.6\) なので \[{}_{30}p_{40}=\ee^{-0.6}=\ee^{-0.2}\times\ee^{-0.4}\approx0.81873\times0.67032\approx0.5488 .\] ② 余命を60歳の前と後に分けます。60歳以降の部分は、60歳まで生存する確率 \({}_{20}p_{40}=\ee^{-0.2}\) と、死力0.04のもとでの平均余命 \(1/0.04=25\) の積です。 \[\eo{40}=\int_0^{20}\ee^{-0.01t}\dd t+\ee^{-0.2}\times\frac{1}{0.04} =\frac{1-\ee^{-0.2}}{0.01}+25\,\ee^{-0.2}\approx18.127+20.468=38.60 .\] 後半に \(\ee^{-0.2}\) を掛け忘れると \(18.13+25=43.13\) で（Ｉ）、前半を20年としてしまうと \(20+20.47=40.47\) で（Ｆ）になります。

30歳の脱退数は \(\dw{30}=50{,}000\times0.04=2{,}000\)、\(\ddth{30}=50{,}000\times0.0012=60\) なので \[\lT{31}=50{,}000-2{,}000-60=47{,}940 .\] 31歳の死亡脱退数は \(\ddth{31}=\lT{31}-\dw{31}-\lT{32}=47{,}940-4{,}800-43{,}082=58\) です。

① \(\qd{31}=58/47{,}940\approx0.001210\)。

② 生存脱退者は平均して半年在籍するので、分母から生存脱退数の半分を引きます。 \[q_{31}=\frac{\ddth{31}}{\lT{31}-\frac12\dw{31}}=\frac{58}{47{,}940-2{,}400}=\frac{58}{45{,}540}\approx0.001274 .\] 分母から \(\dw{31}\) を全部引くと \(58/43{,}140\approx0.001344\) となり、選択肢の範囲を外れます。

① 事由 \(B\) だけが働くとき、時刻 \(t\ (0\le t\le1)\) までに脱退する確率は \(t\,q^{B*}\) です（一様分布）。事由が独立なので、時刻 \(t\) まで \(B\) でも \(C\) でも脱退していない確率は \((1-t\,q^{B*})(1-t\,q^{C*})\) で、その瞬間に \(A\) で脱退する確率密度は \(q^{A*}\) です。 \[q^{A}=\int_0^1 q^{A*}\,(1-t\,q^{B*})(1-t\,q^{C*})\dd t =q^{A*}\Bigl(1-\frac{q^{B*}+q^{C*}}{2}+\frac{q^{B*}q^{C*}}{3}\Bigr).\] \(\int_0^1t\dd t=1/2\)、\(\int_0^1t^2\dd t=1/3\) が係数の出どころです。（Ａ）は1年の初めに他の事由をすべて済ませてしまう計算で、脱退が一様に起こることを反映していません。

② どの事由でも脱退しない確率は、単独の残存率の積 \((1-q^{A*})(1-q^{B*})(1-q^{C*})=0.92\times0.97\times0.995\approx0.887938\) です。よって脱退者数は \[10{,}000\times(1-0.887938)\approx1{,}121\ \text{人}.\] ①の式で \(q^{A}\approx0.078604\)、\(q^{B}\approx0.028729\)、\(q^{C}\approx0.004729\) を求めて足しても、同じ \(0.112062\) になります。単独の脱退率を単純に足すと \(0.115\)、すなわち1,150人で（Ｆ）となり、重なりを数えすぎます。

① \(D_{x+1}/D_x=v\,l_{x+1}/l_x=v\,\pT{x}\) なので \[v=\frac{D_{x+1}}{D_x\,\pT{x}}=\frac{14{,}632.4}{15{,}000.0\times0.9950}\approx0.98040,\qquad i=\frac1v-1\approx0.0200 .\] 残存率を無視した \(D_x/D_{x+1}-1\approx2.5\%\) は、（Ｅ）と（Ｆ）の間にある紛らわしい誤答です。

② \(N_x=D_x+N_{x+1}\) なので \[\adue_x=\frac{N_x}{D_x}=1+\frac{N_{x+1}}{D_x}=1+\frac{290{,}000.0}{15{,}000.0}\approx20.33 .\] \(N_{x+1}/D_x\approx19.33\) は期末払の \(a_x\) で、（Ｃ）を選んでしまいます。

脱退残存表は \(\lT{55+t}=\lT{55}\times0.94^t\) で、計算基数は \(D_{55+t}/D_{55}=(0.94\,v)^t=\rho^t\) です。

① 55歳から59歳までの5回の年度末の脱退をすべて免れた者が60歳に到達するので、確率は \(\lT{60}/\lT{55}=0.94^5\approx0.7339\) です。

② 一時金は5年後に \(2b_{59}=2\times1.16=2.32\) を支払うので、残存確率と割引を掛けて \[2.32\times\frac{D_{60}}{D_{55}}=2.32\,\rho^5=2.32\times0.664719\approx1.542 .\] 最終給与を \(b_{60}=1.20\) とすると約1.595で（Ｅ）、割引を忘れると約1.703で（Ｇ）です。

③ 給与は55〜59歳の各年度初に \(b_{55+t}\) で、\(t\) 年度初まで残存する確率と割引の積は \(\rho^t\) です。 \[\begin{aligned} \sum_{t=0}^{4}b_{55+t}\,\rho^t&=1+1.04\times0.921569+1.08\times0.849289+1.12\times0.782678+1.16\times0.721291\\ &\approx1+0.95843+0.91723+0.87660+0.83670=4.5890 . \end{aligned}\] 基数で書けば \(\sum_{y=55}^{59}b_yD_y/D_{55}\) です。残存を無視して \(\sum b_{55+t}1.02^{-t}\) とすると約5.18、割引を忘れると約4.77で（Ｈ）です。

④ 収支相等の原則より、保険料収入の現価 \(P\times4.5890\) と一時金の現価 \(1.542\) が等しいので \[P=\frac{1.542}{4.5890}\approx0.336 .\] 給与指数を無視して給与を一定（③が \(\sum\rho^t\approx4.275\)）とすると、約0.361で（Ｆ）です。この \(P\) は、第6章で扱う個人平準保険料方式の保険料率の最も簡単な例です。