数学 第1章 確率の基礎の問題

箱の選択で場合分けします（全確率の公式）。箱Aを選ぶ確率は \(1/3\)、箱Bは \(2/3\) です。2個同時に取り出すので非復元抽出です。 \[\P(\text{赤赤}\cond A)=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{3}{10},\qquad \P(\text{赤赤}\cond B)=\frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{1}{10}.\] したがって \[\P(\text{赤赤})=\frac13\cdot\frac{3}{10}+\frac23\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac16 .\] ベイズの定理より、分子は箱Aを通る枝の確率 \(1/10\) なので \[\P(A\cond\text{赤赤})=\frac{1/10}{1/6}=\frac35 .\] ①の（Ｅ）\(17/75\) は、玉を戻しながら取り出す（復元抽出）と誤解したときの値です。「同時に取り出す」は非復元抽出です。

\(A_i\) を「\(i\) 番目の人が自分の帽子を受け取る」事象とします。指定した \(k\) 人が全員自分の帽子を受け取る確率は \((5-k)!/5!\) で、その指定の仕方は \(\binom{5}{k}\) 通りです。包除原理より \[\P\Bigl(\,\bigcup_{i=1}^{5}A_i\Bigr)=\sum_{k=1}^{5}(-1)^{k-1}\binom{5}{k}\frac{(5-k)!}{5!} =1-\frac12+\frac16-\frac1{24}+\frac1{120}=\frac{76}{120}=\frac{19}{30}.\] 余事象（誰も自分の帽子を受け取らない）の並べ方は攪乱順列 \(D_5=44\) 通りで、\(1-44/120=19/30\) と一致します。

ちょうど2人の場合は、自分の帽子を受け取る2人を \(\binom{5}{2}=10\) 通り選び、残り3人が誰も自分の帽子を受け取らない並べ方 \(D_3=2\) 通りを掛けます。 \[\frac{10\times 2}{120}=\frac16 .\] ②で \(\binom{5}{2}\cdot 3!/5!=1/2\) のように残り3人を自由に並べてしまうと、「ちょうど2人」ではなく「少なくともその2人」を数えたことになります。

罹患を \(H\)、陽性を \(+\) と書きます。 \[\P(H\cond +)=\frac{0.005\times0.98}{0.005\times0.98+0.995\times0.03} =\frac{0.0049}{0.0049+0.02985}=\frac{0.0049}{0.03475}\approx0.1410 .\] 2回目は、1回目の事後確率 \(0.1410\) を事前確率として同じ計算をします（条件付き独立を仮定しているので、こう更新できます）。 \[\frac{0.1410\times0.98}{0.1410\times0.98+0.8590\times0.03}\approx\frac{0.1382}{0.1382+0.0258}\approx0.843 .\] 2回分をまとめて \(\dfrac{0.005\times0.98^2}{0.005\times0.98^2+0.995\times0.03^2}\) と計算しても同じ値になります。

（Ｈ）\(0.980\) は検査の感度そのもので、「陽性のとき罹患している確率」と「罹患しているとき陽性になる確率」を取り違えた値です。

所持金 \(i\) から5枚に達する確率を \(P_i\) とすると、最初の1回で場合分けして \[P_i=0.4\,P_{i+1}+0.6\,P_{i-1}\quad(i=1,2,3,4),\qquad P_0=0,\quad P_5=1 .\] これはギャンブラーの破産問題で、\(r=q/p=0.6/0.4=1.5\) です。公式より \[P_2=\frac{1-r^{2}}{1-r^{5}}=\frac{1-2.25}{1-7.59375}=\frac{1.25}{6.59375}=\frac{40}{211}\approx0.190 .\] （Ｅ）\(0.400\) は公平なゲームの答え \(i/N=2/5\) です。（Ｇ）\(0.640\) は、\(r\) を \(p/q\) と逆に置いたときの値です。\(p<1/2\) の不利なゲームでは \(i/N\) より小さくなるはずだと見当を付けると、検算になります。

① 並べ方は全部で \(\binom{7}{4}=35\) 通りで、同様に確からしいです。赤の連がちょうど \(k\) 個になる並べ方は、

• 赤玉4個を空でない \(k\) 個の塊に分ける：玉の間の3か所から \(k-1\) か所を選ぶ \(\binom{3}{k-1}\) 通り

• 白玉3個が作る4か所の隙間（両端を含む）から \(k\) か所を選んで塊を置く：\(\binom{4}{k}\) 通り

の積です。\(k=2\) なら \(3\times6=18\) 通りなので、確率は \(18/35\) です。

② 連の個数を「連の始まり」の個数として数えます。位置 \(j\) が連の始まりである事象の指示関数を \(I_j\) とすると、連の個数は \(\sum_{j=1}^{7}I_j\) です。期待値の線形性より \[\E\Bigl[\sum_j I_j\Bigr]=\P(\text{1番目が赤})+\sum_{j=2}^{7}\P(\text{$j-1$番目が白、$j$番目が赤}) =\frac47+6\times\frac37\cdot\frac46=\frac47+\frac{12}{7}=\frac{16}{7}.\] ①から \(\sum_k k\,\P(\text{連が$k$個})\) を計算しても同じです（\(k=1,2,3,4\) の並べ方は \(4,18,12,1\) 通り）。 \[\frac{1\cdot4+2\cdot18+3\cdot12+4\cdot1}{35}=\frac{80}{35}=\frac{16}{7}.\]

到着時刻を時間単位で \(x,y\in[0,1]\) とすると、\((x,y)\) は単位正方形上の一様分布に従い、確率は面積で求まります（参考書1.5節）。会える条件は \(|x-y|\le1/4\) で、正方形から直角を挟む2辺が \(3/4\) の直角三角形2つを除いた面積は \[1-\Bigl(\frac34\Bigr)^2=\frac{7}{16}.\] 2人とも前半に着く領域 \([0,1/2]^2\) と帯の重なりは、一辺 \(1/2\) の正方形から直角を挟む2辺が \(1/4\) の直角三角形2つを除いた \(1/4-1/16=3/16\) です。よって条件付き確率は \[\frac{3/16}{7/16}=\frac37 .\] ②で（Ａ）\(1/4\) を選ぶのは、条件を付けずに「2人とも前半」の確率を答えた場合です。

Aの勝率を \(a\) とします。最初の1巡（A、Bの順に1回ずつ）で場合分けすると、

• Aが1投目で勝つ：確率 \(1/6\)

• 2人とも勝てずに1巡が終わる：確率 \(r\)。このとき状況は最初と同じに戻る

なので \(a=1/6+r\,a\)、すなわち \(a=\dfrac{1/6}{1-r}\) です。

① \(r=(5/6)^2=25/36\) より、\(a=\dfrac{1/6}{11/36}=\dfrac{6}{11}\)。

② Bが勝てない確率は \(4/6=2/3\) なので、\(r=\dfrac56\cdot\dfrac23=\dfrac{5}{9}\)。 \[a=\frac{1/6}{1-5/9}=\frac{1/6}{4/9}=\frac{3}{8}.\] 先手が有利でも、Bの勝ちやすさが2倍になると、Aの勝率は \(1/2\) を下回ります。