会計・経済・投資理論 第1章 金利の期間構造と債券投資の問題

① 各時点のキャッシュフローを、その時点のスポット・レートで割り引きます。 \[P=\frac{2}{1.005}+\frac{2}{1.011^2}+\frac{102}{1.016^3}=1.9900+1.9567+97.2566=101.2034\approx101.20.\] （Ｃ）\(101.16\) は、すべてのキャッシュフローを3年のスポット・レート1.6%で割り引いた値です。（Ｇ）\(104.46\) は1年のスポット・レート0.5%ですべてを割り引いた値、（Ｈ）\(106.00\) は割り引かずに足した値です。

② \((1+r_4)^4=(1+r_2)^2(1+f_{2,4})^2\) より \[(1+f_{2,4})^2=\frac{1.020^4}{1.011^2}=\frac{1.082432}{1.022121}=1.059006,\qquad f_{2,4}=\sqrt{1.059006}-1=2.908\%\approx2.91\%.\] （Ｈ）\(5.90\%\) は平方根をとらずに2年分の合計を答えた値、（Ｃ）\(2.61\%\) は2年後から3年後、（Ｅ）\(3.21\%\) は3年後から4年後のフォワード・レートです。

短い年限から順に割引係数を求めます（ブートストラップ法）。債券Xは1年後に100.4円を支払い、価格は100円なので \[\DF_1=\frac{100}{100.4}=0.996016 .\] 債券Yは \(100=1.8\,\DF_1+101.8\,\DF_2\) なので \[\DF_2=\frac{100-1.8\times0.996016}{101.8}=\frac{98.207171}{101.8}=0.964707,\qquad r_2=\frac{1}{\sqrt{0.964707}}-1=1.813\%\approx1.81\%.\] 債券Zは \(100=2.8\,(\DF_1+\DF_2)+102.8\,\DF_3\) なので \[\DF_3=\frac{100-2.8\times1.960723}{102.8}=\frac{94.509976}{102.8}=0.919358,\] \[r_3=0.919358^{-1/3}-1=2.842\%\approx2.84\%.\] ①の（Ｃ）\(1.80\%\)、②の（Ｃ）\(2.80\%\) はパー・レートをそのままスポット・レートとした値です。右上がりのカーブでは、スポット・レートはパー・レートより少し高くなります。①の（Ａ）\(1.10\%\) は \((0.4\%+1.8\%)/2\) のように平均をとった値、（Ｈ）\(3.25\%\) は1年後から2年後のフォワード・レート \(\DF_1/\DF_2-1\)、②の（Ｈ）\(4.93\%\) は2年後から3年後のフォワード・レートです。

各時点のキャッシュフローの現在価値は \[\mathrm{PV}_1=\frac{4}{1.03}=3.8835,\qquad \mathrm{PV}_2=\frac{4}{1.03^2}=3.7704,\qquad \mathrm{PV}_3=\frac{104}{1.03^3}=95.1747,\] で、合計は \(P=102.8286\) 円です。

① マコーレー・デュレーションは \[\Dmac=\frac{1\times3.8835+2\times3.7704+3\times95.1747}{102.8286}=\frac{296.9483}{102.8286}=2.8878,\] 修正デュレーションは \(\Dmod=2.8878/1.03=2.8037\approx2.80\) です。（Ｅ）\(2.89\) はマコーレー・デュレーションのままの値、（Ｂ）\(2.72\) は \(1.03\) で2回割った値です。

② 定義の式に代入します。 \[\Cvx=\frac{1}{102.8286\times1.03^2}\bigl(2\times3.8835+6\times3.7704+12\times95.1747\bigr) =\frac{1172.5}{109.09}=10.748\approx10.75 .\] （Ｂ）\(8.03\) は \(t(t+1)\) の代わりに \(t^2\) を使った値、（Ｆ）\(11.40\) は \((1+y)^2\) で割り忘れた値です。

③ \(\Delta y=0.01\) を代入して \[\frac{\Delta P}{P}\approx-2.8037\times0.01+\frac12\times10.748\times0.01^2=-0.028037+0.000537=-2.750\%.\] （Ｃ）\(-2.80\%\) はデュレーションだけの近似、（Ｅ）\(-2.70\%\) は2次の項の \(\tfrac12\) を忘れた値、（Ｂ）\(-2.83\%\) はマコーレー・デュレーションを使った値です。\(y=4\%\) で計算し直した正確な変化率は \(-2.751\%\) で、近似はよく合っています。

① 償還差損 \(102-100=2\) 円を4年で割り、毎年0.5円の損とみなします。 \[\frac{3+(100-102)/4}{102}=\frac{2.5}{102}=2.451\%\approx2.45\%.\] （Ｇ）\(2.94\%\) は直接利回り \(3/102\) で、償還差損を考えていません。

② 保有期間利回りを \(r\) とすると \[102=\frac{3}{1+r}+\frac{3+101.20}{(1+r)^2}.\] \(x=1/(1+r)\) とおくと \(104.2x^2+3x-102=0\) なので \[x=\frac{-3+\sqrt{9+4\times104.2\times102}}{2\times104.2}=\frac{-3+206.2101}{208.4}=0.975096,\qquad r=2.555\%\approx2.55\%.\]

③ 4年後の金額は、クーポン3円を年1.0%で運用した元利合計と償還額の和で \[3\times\frac{1.01^4-1}{0.01}+100=3\times4.060401+100=112.1812\ \text{円}.\] よって実効利回りは \((112.1812/102)^{1/4}-1=1.099816^{1/4}-1=2.407\%\approx2.41\%\) です。再投資利回り1.0%が最終利回り2.47%より低いので、実効利回りは最終利回りを下回ります。（Ｂ）\(2.37\%\) は、クーポンを再投資しない（4年間で12円）として計算した値です。

① 2つの支払を2.0%で割り引いて足します。 \[\frac{600}{1.02^2}+\frac{600}{1.02^4}=576.7013+554.3073=1{,}131.0085\approx1{,}131.0 .\] （Ｈ）\(1{,}200.0\) は割り引かずに足した値です。

② 負債のマコーレー・デュレーションは、各支払の現在価値で重みを付けた平均の期間で \[\Dmac=\frac{2\times576.7013+4\times554.3073}{1{,}131.0085}=\frac{3{,}370.632}{1{,}131.0085}=2.9802,\] 修正デュレーションは \(2.9802/1.02=2.9218\approx2.92\) です。（Ｅ）\(2.98\) はマコーレー・デュレーションのまま、（Ｆ）\(3.00\) は現在価値で重み付けせずに期間を単純平均した値です。

③ 債券Xの修正デュレーションは \(1/1.02=0.9804\) です。Zの構成割合を \(w\) として \[w\times5.4833+(1-w)\times0.9804=2.9218 \quad\Longrightarrow\quad w=\frac{2.9218-0.9804}{5.4833-0.9804}=\frac{1.9414}{4.5029}=0.4311 .\] （Ｇ）\(56.9\%\) は債券Xの構成割合です。（Ｄ）\(43.5\%\) は②で（Ｆ）の値（3.00を1.02で割った2.94）を使った場合です。なお、すべての年限の利回りが等しいので、マコーレー・デュレーションで計算しても同じ割合になります。

④ 資産の時価 \(1{,}131.009\) 百万円のうち、債券Xに \(0.5689\times1{,}131.009=643.39\) 百万円（1年後の受取額 \(643.39\times1.02=656.26\) 百万円）、債券Zに \(0.4311\times1{,}131.009=487.62\) 百万円（\(487.62/105.60=4.6175\) 百万口）を投資しています。利回りが3.0%になると \[\begin{aligned} \text{債券Xの時価}&=\frac{656.26}{1.03}=637.14,\\ \text{債券Zの価格}&=\sum_{t=1}^{6}\frac{3}{1.03^t}+\frac{100}{1.03^6}=100.00\ \text{円}\quad(\text{クーポン・レートと利回りが等しい}),\\ \text{資産の時価}&=637.14+4.6175\times100.00=1{,}098.90,\\ \text{負債の時価}&=\frac{600}{1.03^2}+\frac{600}{1.03^4}=565.56+533.09=1{,}098.65 . \end{aligned}\] 差は \(1{,}098.90-1{,}098.65=0.25\) 百万円（正確には0.247）です。修正デュレーションが一致しているので1次の変化は打ち消し合い、資産のコンベキシティが負債より大きいぶん、わずかに資産が上回ります。（Ｄ）\(0.00\) はデュレーションによる1次の近似だけで考えた答えです。（Ｇ）\(21.38\) は全額を債券Xで、（Ａ）\(-27.63\) は全額を債券Zで持った場合の値で、イミュニゼーションをしないと金利の変化で大きな差が出ることがわかります。

① 倒産確率を \(p\) とすると、債券Aの1年後の期待キャッシュフローは \((1-p)\times103+p\times30\) で、これを1年の無リスク金利で割り引いた値が価格です。 \[99.09=\frac{103-73p}{1.01}\quad\Longrightarrow\quad 103-73p=100.0809,\qquad p=\frac{2.9191}{73}=0.03999\approx4.00\%.\] （Ｃ）\(2.83\%\) は回収額を無視して \(103(1-p)=100.0809\) から求めた値です。デフォルト時にも額面の30%が支払われることを式に入れます。

② 2年目も倒産確率は \(p=0.04\) です。各時点の期待キャッシュフローは \[\begin{aligned} \text{1年後}&:\ 0.96\times4+0.04\times30=3.84+1.20=5.04,\\ \text{2年後}&:\ 0.96^2\times104+0.96\times0.04\times30=95.8464+1.1520=96.9984 \end{aligned}\] で、価格は \[\frac{5.04}{1.01}+\frac{96.9984}{1.016^2}=4.9901+93.9674=98.9575\approx98.96\ \text{円}.\] （Ｂ）\(96.65\) は回収額を0とした値、（Ｇ）\(102.87\) は2年後の生存確率を \(0.96^2\) ではなく \(0.96\) とした値、（Ｈ）\(104.71\) はデフォルトを考えない国債の価格です。

③ 債券Bの最終利回り \(y_B\) は \(98.9575=4/(1+y_B)+104/(1+y_B)^2\) を解いて \(y_B=4.557\%\) です。同じ条件の国債の価格は \(4/1.01+104/1.016^2=104.711\) 円、最終利回りは \(1.588\%\) なので \[\text{Tスプレッド}=4.557\%-1.588\%=2.969\%\approx2.97\%.\] （Ｇ）\(4.56\%\) は債券Bの最終利回りそのもの、（Ｂ）\(1.59\%\) は国債の最終利回りです。

• （Ａ）正しい。金利低下（ブル）で長短金利差が拡大する（スティープ化）ので、ブル・スティープです。

• （Ｂ）誤り。流動性プレミアム仮説では、長期の債券の価格変動リスクに対するプレミアムが上乗せされるので、フォワード・レートは予想値より高くなります。

• （Ｃ）誤り。同じデュレーションなら、コンベキシティは短期と長期の両端に分けるバーベル型が最も大きく、中期に集中するブレット型が最も小さくなります。

• （Ｄ）正しい。金利が下がると発行体が償還（コール）しやすくなるので、価格は償還価格の近くで頭打ちになります。

① 1年後の時点で残り2つのキャッシュフロー（2年後の2.5円、3年後の102.5円）を割り引く金利は、今日のフォワード・レート \(f_{1,2}\) と \(f_{1,3}\) です。 \[1+f_{1,2}=\frac{1.012^2}{1.006}=1.018036,\qquad (1+f_{1,3})^2=\frac{1.017^3}{1.006}=1.045598 .\] よって \[P_1=\frac{2.5}{1.018036}+\frac{102.5}{1.045598}=2.4557+98.0300=100.486\approx100.49\ \text{円}.\]

② \((2.5+100.486)/102.371-1=0.600\%\) で、期間1年のスポット・レート0.6%に一致します。純粋期待仮説のもとでは、どの債券を1年間保有しても、収益率は1年の無リスク金利になります。（Ａ）\(-1.84\%\) はクーポンを足し忘れた値です。

③ カーブが変わらないときは、今日の1年・2年のスポット・レートで割り引きます。 \[P_1'=\frac{2.5}{1.006}+\frac{102.5}{1.012^2}=2.4851+100.0836=102.569\] となり、 保有期間利回りは \((2.5+102.569)/102.371-1=2.635\%\approx2.63\%\) です。順イールドのもとでカーブが動かないと、残存期間が短くなるにつれて低い金利で割り引かれるようになり、価格が上がります（ロールダウン効果）。